Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o ramieniu... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Okręgi, 9667841

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Okręgi

Zadanie nr 9667841

Wyznacz promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny o ramieniu długości $b$ i kącie o mierze $α$ przy podstawie.

Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od rysunku.

Aby wyliczyć promień okręgu wpisanego w trójkąt $ABC$ będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole $P = 12(a+ b+ c)r$ . Aby to zrobić, najpierw wyliczymy pole i obwód trójkąta $ABC$ .

h- b = sin α ⇒ h = bsin α AE ----= cosα ⇒ AB = 2AE = 2b cosα b P = 1AB ⋅h = 2b cos α⋅b sinα = 1b2 sin 2α . 2 2

Mamy zatem

2 r = ----2P----- = --b-sin-2α---= -b-sin2α--. AB + 2AC 2bco sα + 2b 2co sα + 2

Sposób II

Podobnie jak poprzednio zauważmy, że

AE = bcos α.

Następnie popatrzmy na trójkąt prostokątny utworzony przez połączenie wierzchołka $A$ ze środkiem okręgu wpisanego (jest to fragment dwusiecznej). Mamy w tym trójkącie