/Studia/Analiza/Zastosowania całek

Zadanie nr 2485070

Oblicz objętość bryły otrzymanej w wyniku obrotu wokół osi Ox trapezu krzywoliniowego ograniczonego przez wykres funkcji √ -- y = xe−x , proste x = 0 i x = 4 oraz oś Ox .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Najpierw obrazek.

PIC

Korzystamy ze wzoru

∫ b V = π (f(x ))2dx a

na objętość bryły otrzymanej przez obrót wokół osi Ox obszaru zwartego pod wykresem funkcji y = f(x) , gdzie x ∈ [a,b] .

Liczymy

| | ∫ 4 −2x |u = x v ′ = e− 2x | V = π xe dx = ||u′ = 1 v = − 1e−2x|| = [ 0 ] 2 [ ] 1 − 2x 4 π ∫ 4 −2x − 8 π 1 −2x 4 = π − -xe + -- e dx = − 2πe + -- − --e = 2 0 2 0 2 2 0 −8 π- − 8 π- π- 9π- −8 = − 2πe − 4e + 4 = 4 − 4 e .

 
Odpowiedź: π- 9π-− 8 4 − 4 e

Wersja PDF