/Studia/Analiza/Zastosowania całek

Zadanie nr 6612960

Oblicz długość krzywej y = ln x , gdzie √ -- √ -- 3 ≤ x ≤ 8 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a

na długość wykresu funkcji y = f (x) na przedziale [a,b] .

W naszej sytuacji mamy

√ -∘ ------- √- √ ------- √ -√ ------- ∫ 8 1-- ∫ 8 --x2-+-1- ∫ 8--x2-+-1- √ - 1 + x2dx = √- x dx = √ - x2 ⋅xdx = 3| | ∫ 3 ∫ 3 || t2 = x 2 + 1 || 3 --t--- 3 t2 −-1+-1- = |2tdt = 2xdx | = 2 t2 − 1 ⋅tdt = 2 t2 − 1 dt = ∫ 3( ) ∫ 3 ( ) = 1 + ------1------- dt = [t]3 + 1- -1---− -1--- dt = 2 (t− 1)(t+ 1) 2 2 2 t− 1 t+ 1 [ ] 3 = 1+ 1-[ln(t − 1) − ln(t+ 1)]3 = 1+ 1- ln t-−-1 = 2 2 2 t + 1 2 1 2 1 1 1 3 = 1+ --ln --− --ln --= 1+ --ln --. 2 4 2 3 2 2

 
Odpowiedź: 1 + 1 ln 3 2 2

Wersja PDF