/Studia/Analiza/Zastosowania całek

Zadanie nr 8429511

Oblicz długość krzywej 2 y = ln(1 − x ) , gdzie 1 0 ≤ x ≤ 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Korzystamy ze wzoru

∫ b ∘ ------------ 1+ [f′(x )]2dx a

na długość wykresu funkcji y = f (x) na przedziale [a,b] .

W naszej sytuacji mamy

∘ --------------- ---------------- ∫ 12 ( − 2x )2 ∫ 12 ∘ (1 − x2)2 + 4x 2 1 + -----2- dx = -----------2------dx = 0 1 − x 0 1− x ∫ 12 √ 1-−-2x2-+-x4-+-4x-2 ∫ 12∘ (1+--x2)2- ∫ 12 1+ x2 = ---------------------dx = ------------dx = ------dx = 0 1 − x2 0 1 − x2 0 1− x2 ∫ 12 x2 − 1 + 2 ∫ 12 ( 2 ) = -------2--dx = − 1 + --------------- dx = 0 1 − x ( 0 ) (1− x )(1+ x) 1 ∫ 12 1 1 = [−x ]20 + ------+ ------ dx = 0 1 + x 1− x 1 1 1 [ 1+ x ]12 = − --+ [ln(1 + x) − ln(1 − x)]20 = − -+ ln ------ = 2 2 1− x 0 1 3 1 = − --+ ln 21-= − --+ ln3 . 2 2 2

 
Odpowiedź: 1 − 2 + ln3

Wersja PDF