Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2833564

W trójkącie równoramiennym ABC (|AC | = |BC | ) miara kąta ∡ACB jest równa 2α . Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r . Oblicz długości boków trójkąta ABC .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość podstawy trójkąta przez 2a (2a , a nie a , żeby nie mieć ułamków).


PIC

Aby wykorzystać podaną informację o promieniu okręgu wpisanego w trójkąt ABC , będziemy chcieli skorzystać ze wzoru na pole P = 1(a + b + c)r 2 . Aby to zrobić musimy wyliczyć długości boków trójkąta (przy okazji wyliczymy też jego wysokość).

h -- = ctg α ⇒ h = a ctgα a -a--= sinα ⇒ BC = --a--. BC sin α

Zatem ze wspomnianego wzoru na pole trójkąta, mamy

 ( ) ( ) P = 1- 2a + -2a-- r = a + --a-- r 2 sin α sin α

Z drugiej strony

 1 P = -(2a) ⋅h = a2 ctgα. 2

Mamy zatem

 ( ) 2 --a-- a ctgα = a + sin α r ( 1 ) sin α a = 1 + ----- r⋅----- ( sin α ) co sα 1 a = tg α + ----- r cos α

Zatem boki trójkąta wynoszą

 ( ) ( ) --1-- -a--- --1-- ----1----- 2a = 2r tg α + co sα ,sin α = cosα + sin α cosα r

Sposób II

Podobnie jak w poprzednim sposobie zauważamy, że  a BC = sin-α , ale tym razem w inny sposób wyliczymy a . Zauważmy, że kąt ostry przy podstawie trójkąta ABC jest równy 90∘ − α , zatem jeżeli połączymy wierzchołek A ze środkiem okręgu wpisanego (jest fragment dwusiecznej kąta ∡A ) to otrzymamy trójkąt prostokątny z kątem ostrym  ∘ α 45 − 2 i przyprostokątnych długości a i r . Mamy więc

a ( α) ( α ) --= ctg 45∘ − -- ⇒ a = rctg 45∘ − -- . r 2 2

 
Odpowiedź:  ( -1--) ( ∘ α ) 2r tgα + cosα = 2r ctg 45 − 2 i ( 1 1 ) rctg(45∘−α2) cosα + sin-αcosα r = ---sinα----

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!