W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Oblicz długość..., 6379809

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Równoramienny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Równoramienny/Oblicz długość...

Zadanie nr 6379809

W ostrokątnym trójkącie równoramiennym ramię ma długość 61, a wysokość poprowadzona do ramienia ma długość 11. Oblicz długość podstawy tego trójkąta.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od szkicowego rysunku.

Sposób I

Oznaczmy szukaną długość podstawy przez $2a$ ( $2a$ , a nie $a$ żeby nie mieć ułamków) i zauważmy, że możemy na dwa sposoby obliczyć pole trójkąta $ABC$ .

2P = AB ⋅CE = AC ⋅DB 2ah = 61 ⋅11.

Potrzebujemy jeszcze drugie równanie – dostajemy je z trójkąta prostokątnego $AEC$ .

2 2 2 a + h = 61 (a+ h)2 − 2ah = 612 (a+ h)2 − 6 1⋅1 1 = 612 2 2 (a+ h) =√ 61--+ 61 ⋅11 = 61 (61+ 11) = 61 ⋅72 = 1 22⋅3 6. a+ h = 6 122 .

Mamy zatem układ równań

{ 61⋅11 ah = 2 √ ---- a + h = 6 122

Układ ten możemy rozwiązać standardowo, lub zauważyć, że na mocy wzorów Viète’a rozwiązania tego układu są pierwiastkami równania

√ ---- 61 ⋅11 x2 − 6 122x + -------= 0 2 Δ = 122 ⋅36 − 122 ⋅11 = 1 22⋅2 5 6√ 122-− 5√ 122- √ 12-2 6√ 122-+ 5√ 12-2 1 1√ 122- x1 = ----------------= ------, x2 = -----------------= --------. 2 2 2 2

Pozostało ustalić, która z tych liczb to $a$ , a która to $h$ . Gdyby było $a > h$ , to $∘ ∡ACE > 45$ i kąt przy wierzchołku $C$ byłby rozwarty. Zatem $--- √122- a = 2$ i podstawa ma długość $√ ---- 2a = 122$ .

Sposób II

Tym razem będziemy odrobinę bardziej pomysłowi i policzymy długość odcinka $AB$ wprost. Jak to zrobić? – z trójkąta prostokątnego $ABD$ . Aby móc to jednak zrobić musimy najpierw wyliczyć długość odcinka $AD = 61− CD$ . Patrzymy na trójkąt prostokątny $BCD$ i liczymy