Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 7976429

Ramię trójkąta równoramiennego jest dwa razy dłuższe od podstawy. Wyznacz obwód trójkąta, jeśli środkowa poprowadzona do ramienia ma długość d .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku i oznaczmy długość podstawy przez a .


PIC


Sposób I

To co mamy zrobić, to wyliczyć a w zależności od d . Zauważmy, że ponieważ środkowe dzielą się w stosunku 2:1, jesteśmy w stanie wyliczyć wszystkie boki trójkąta prostokątnego AEF . Twierdzenie Pitagorasa zastosowane do tego trójkąta da nam żądaną zależność.

Policzmy najpierw wysokość CE

 ∘ ------------ ∘ -------2- √ --- CE = AC 2 − AE 2 = 4a2 − a--= --15a. 4 2

Stąd

 √ --- FE = 1CE = --15a-. 3 6

Piszemy teraz twierdzenie Pitagorasa w trójkącie AEF .

 2 2 2 AF = AE + EF 4-2 a2- 15a2- 9d = 4 + 62 / ⋅3 2 2 4d2 = 3a--+ 5a-- 3 4 4 4 8a2 -d2 = ---- 3 4 √ -- 2 2- 2 --6- a = 3d ⇒ a = 3 d.

Zatem obwód jest równy

 √ -- 5--6- 5a = 3 d

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Zanim to jednak zrobimy, popatrzmy na trójkąt prostokątny CEB .

 a BE-- 2-- 1- cosα = BC = 2a = 4 .

Piszemy teraz twierdzenie cosinusów w trójkącie ABD .

 2 2 2 AD = BA + BD − 2BA ⋅BD c osα 2 2 2 1- d = a + a − 2a⋅a ⋅4 3 2 d2 = -a 2 / ⋅-- 2 3 √ -- 2-2 2 --6- 3d = a ⇒ a = 3 d.

Zatem obwód jest równy

 √ -- 5--6- 5a = 3 d

 
Odpowiedź:  √ - 5--6d 3

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!