/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny

Zadanie nr 3815942

Udowodnij, że liczba 4◟44◝..◜.4◞ 8◟88-.◝.◜.889◞ n n jest kwadratem liczby naturalnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Spróbujmy zapisać daną liczbę bez użycia kropek (korzystamy ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego).

4◟44◝.◜..4◞ 8◟88..◝.◜8-89◞= 4◟44◝.◜..4◞+ 4◟44.◝.◜.4◞+ 1 = n n 2n n = 4 ⋅111 ...1+ 4 ⋅111 ...1+ 1 = ◟--◝◜--◞ ◟--◝n◜--◞ 2n = 4(102n− 1 + 1 02n−2 + ⋅⋅⋅+ 1 0+ 1)+ 4 (10n−1 + 10n− 2 + ⋅⋅⋅+ 10 + 1) + 1 = 2n n = 4 ⋅ 10--−-1-+ 4 ⋅ 10-−-1-+ 1 = 4-⋅102n + 4-⋅10n − 4− 4-+ 1 = 10 − 1 10− 1 9 9 9 9 4 ⋅102n + 4 ⋅10n + 1 (2⋅1 0n + 1)2 ( 2 ⋅10n + 1) 2 = -------------------- = ------2------ = ----------- . 9 3 3

Wystarczy teraz zauważyć, że liczba w nawiasie jest liczbą naturalną – to jednak jest proste, liczba 2 ⋅10n + 1 zawiera tylko dwie niezerowe cyfry: 2 i 1, więc jest podzielna przez 3 (suma cyfr jest równa 3).

Sposób II

Próbujemy zwinąć podaną liczbę do pełnego kwadratu.

444...4 888 ...889 = 4 (111...1 222 ...222) + 1 = ◟-◝ ◜-◞ ◟---◝◜---◞ ◟-◝ ◜-◞ ◟---◝◜---◞ n n n n = 4 (1◟11◝.◜..1◞(1 0n + 2))+ 1 = 4(1◟11◝.◜..1◞(9◟99◝.◜..9◞+ 3)) + 1 = n n n 2 = 4 (1◟11◝.◜..1◞(9 ⋅1◟1-1◝.◜..1◞ +3 ))+ 1 = 4(9⋅ (1◟11◝..◜.1◞ ) + 3◟3-3◝.◜..3◞ n n n n = 4 ((3 33...3)2 + 333 ...3) + 1 = (66-6...6)2 + 2 ⋅(666 ...6)+ 1 = ◟ ◝◜n ◞ ◟ ◝◜n ◞ ◟ ◝◜n ◞ ◟ ◝n◜ ◞ 2 2 = (6◟-66◝.◜..6◞ + 1) = (6◟66◝.◜..67◞) n n
Wersja PDF