/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny

Zadanie nr 4765422

Ciąg (an ) jest określony wzorem 2 an = 2n + 2n dla n ≥ 1 . Wykaż, że suma każdych dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest kwadratem liczby naturalnej.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczamy sumę dwóch kolejnych wyrazów ciągu (an) :

2 2 an + an+1 = 2n + 2n + 2(n + 1) + 2(n + 1) = = 2n 2 + 2n + 2(n2 + 2n + 1 )+ 2n + 2 = 4n2 + 8n + 4 = (2n + 2)2.
Wersja PDF