/Szkoła średnia/Równania/Wielomianowe/Stopnia 3/Rozwiąż równanie

Zadanie nr 3072470

Rozwiąż równanie 3 2 2 x − 2x = x − 4 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy równanie (wyciągamy z obu stron (x − 2 ) przed nawias).

3 2 2 x − 2x = x − 4 2 x (x − 2 ) = (x− 2)(x + 2).

Zatem x = 2 lub możemy podzielić stronami przez (x − 2) . Dzielimy

2 x = x + 2 x 2 − x − 2 = 0 Δ = 1 + 8 = 9 1-−-3- 1-+-3- x = 2 = − 1 lub x = 2 = 2.

Sposób II

Równanie możemy zapisać w postaci

x3 − 3x2 + 4 = 0

Łatwo znaleźć pierwiastek tego równania (sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego): jeden z nich to x = −1 . Dzielmy teraz wielomian przez (x + 1) – my to zrobimy grupując wyrazy.

3 2 3 2 2 2 2 x − 3x + 4 = x + x − 4x + 4 = x (x + 1 )− 4 (x − 1) = = x 2(x+ 1)− 4(x− 1)(x + 1) = (x + 1)(x 2 − 4x + 4) = (x + 1)(x − 2)2.

Jest więc jeszcze jeden pierwiastek x = 2 .  
Odpowiedź: x ∈ { −1 ,2}

Wersja PDF