Dany jest wielomian W(x)=x^3+2x^2-9x-18. Wyznacz pierwiastki... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Rozwiąż równanie, 3168582

Forum

Stopnia 3

Zadanie nr 3168582

Dany jest wielomian $3 2 W (x) = x + 2x − 9x − 18$ .

Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
Sprawdź, czy wielomiany $W (x )$ i $P(x ) = (x+ 2)(x2 − 2x + 4) + (x + 2)(2x − 1 3)$ są równe.
Uzasadnij, że jeśli $√ --- x > 10$ , to $3 2 x + 2x − 9x − 18 > 0$ .

Rozwiązanie

Żeby znaleźć pierwiastki, wstawiamy do wielomianu dzielniki wyrazu wolnego, czyli liczby $− 1,1,− 2,2,− 3,3,− 6,6,− 9,9,− 18 ,18$ tak długo aż dla jakiejś wyjdzie 0 – wychodzi już dla $− 2$ . Jak już mamy pierwiastek, to dzielimy wielomian przez $(x+ 2)$ . Robimy to tak jak umiemy, schemat Hornera, dzielenie wielomianów lub grupowanie odpowiednich czynników. My zrobimy to tą ostatnią metodą $x3 + 2x 2 − 9x − 1 8 = x2(x + 2) − 9(x + 2) = = (x 2 − 9)(x + 2 ) = (x− 3)(x + 3)(x + 2).$
Teraz widzimy, że pierwiastki to $− 2,− 3,3$ .
Odpowiedź: $− 2,− 3,3$
Z poprzedniego podpunktu wiemy, że $W (x) = (x+ 2)(x2 − 9)$ . Zapiszemy teraz $P (x)$ w postaci $(x + 2)cos$ i sprawdzimy czy $2 cos = x − 9$ . $2 P(x ) = (x + 2)(x − 2x + 4) + (x + 2)(2x − 13) = = (x + 2)(x2 − 2x + 4 + 2x − 1 3) = (x + 2)(x2 − 9)$
i wyszło to samo, czyli są równe. Oczywiście zamiast wyłączać $(x + 2)$ przed nawias mogliśmy wszystko powymnażać, ale rachunki byłyby znacznie gorsze.
Odpowiedź: Tak, są równe.
Ponieważ $W (x) = (x + 3)(x + 2 )(x − 3)$ , to dla $x > 3$ mamy $W (x) > 0$ (bo każdy z czynników $W (x)$ jest dodatni). Teraz wystarczy zauważyć, że $√ --- √ -- 10 > 9 = 3$ .