Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 4904151

Z dwunastokąta foremnego odcięto trzy wycinki kół, których środkami są pewne wierzchołki dwunastokąta, a ich promienie mają długość równą długości boku dwunastokąta. Wiedząc, że suma pól tych wycinków jest równa 80 π cm 2 , oblicz:


PIC


  • długość boku dwunastokąta;
  • długość promienia okręgu opisanego na tym dwunastokącie;
  • pole figury powstałej po odcięciu od dwunastokąta trzech danych wycinków kołowych.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  • Połączmy środek dwunastokąta z wierzchołkami.
    PIC

    Otrzymamy wtedy 12 trójkątów równoramiennych, których kąt przy wierzchołku ma miarę

    360∘- ∘ 12 = 30 .

    Zatem kąt przy podstawie jest równy

     ∘ ∘ 180--−-30--= 75∘. 2

    W takim razie każdy z zaznaczonych wycinków kołowych jest oparty o kąt środkowy 150∘ , czyli ma pole

     ∘ πa2 ⋅ 150-= πa 2 ⋅ 5-. 360 ∘ 12

    Daje to nam równanie

     2 5 80π πa ⋅12-= -3-- a2 = 80-⋅ 1-2 = 64 ⇒ a = 8. 3 5

     
    Odpowiedź: 8 cm

  • Piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABO .
     2 2 2 ∘ AB = AO + BO − 2√AO- ⋅BO cos 30 2 2 2 3 64 = R + R − 2R ⋅ ---- 2 √ -- 2 64 = R (2 − 3) √ -- √ -- R 2 = ---64√---= 64(2-+---3)-= 64(2+ 3) 2 − 3 4 − 3 ∘ ----√--- R = 8 2 + 3 .

     
    Odpowiedź:  ∘ ----√--- 8 2 + 3 cm

  • Policzmy pole dwunastokąta. Pole trójkąta ABO jest równe
     √ -- √ -- 1R ⋅ R ⋅sin 30∘ = 1-⋅64(2 + 3) = 1 6(2+ 3). 2 4

    Zatem pole całego dwunastokąta jest równe

     √ -- √ -- 12 ⋅16(2 + 3) = 19 2(2+ 3).

    Od tego musimy odjąć pola wycinków kołowych.  
    Odpowiedź:  √ -- 2 192(2 + 3) − 80π cm

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!