Zadanie nr 6494923

Dany jest ośmiokąt foremny ABCDEF GH o boku długości 1.

Udowodnij, że pole trójkąta BEG jest równe √---1--√--- 2 34− 24 2 .

Rozwiązanie

Trapezy ABGH i CBED są przystające, więc BG = BE i trójkąt BEG jest równoramienny.

Łatwo też obliczyć długość jego ramienia. Przekątne i ośmiokąta są prostopadłe do przekątnej , więc ich punkty przecięcia i z tą przekątną dzielą ją w taki sposób, że KL = HA = 1 (bo czworokąt ALKH jest prostokątem) oraz GK = LB jest bokiem kwadratu o przekątnej długości 1 (trójkąty HKG i ALB są połówkami takiego kwadratu). Zatem

√ -- KG √ 2-= 1 ⇒ KG = √1--= --2- 2 2 √ -- BG = KL + 2KG = 1+ 2 .

Sposób I

Niech będzie środkiem okręgu opisanego na danym ośmiokącie. Wtedy kąt środkowy GSE ma miarę

36 0∘ ∡GSE = 2 ⋅----- = 90∘. 8

Stąd kąt wpisany GBE ma miarę

1 ∘ ∡GBE = -∡GSE = 4 5 . 2

Pole trójkąta BEG jest więc równe

1 1 2 ∘ PBEG = 2-BG ⋅BE ⋅sin∡GBE = 2-⋅BG ⋅sin45 = -- √ -- -- -- -- = 1-⋅(1 + √ 2)2 ⋅--2-= 1(1 + 2√ 2 + 2)√ 2 = 1(4 + 3√ 2 ). 2 2 4 4

Pozostało udowodnić, że jest to ta sama liczba, która jest podana w treści zadania. Żeby zmniejszyć liczbę pierwiastków porównamy kwadraty obu liczb. Z jednej strony