/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Różne

Zadanie nr 6793781

Liczbę przekątnych wielokąta o n bokach można obliczyć ze wzoru n(n−-3) 2 , gdzie n ≥ 3 , n ∈ N . Ile boków ma wielokąt, który ma 35 przekątnych?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy przez n szukaną liczbę boków. Wówczas otrzymujemy równanie

n-(n-−-3) = 3 5 2 n 2 − 3n − 70 = 0.

Obliczamy wyróżnik trójmianu

Δ = (− 3)2 − 4 ⋅(− 70) = 9 + 28 0 = 289 = 1 72.

Wyznaczamy pierwiastki

3− 17 3 + 17 n1 = -------= − 7 i n2 = -------= 10. 2 2

Liczba boków jest liczbą większą od zera, więc odrzucamy ujemny pierwiastek. Zatem liczba boków równa się 10.  
Odpowiedź: 10

Wersja PDF