/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Różne

Zadanie nr 8152750

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

W n –kącie foremnym, gdzie n ≥ 6 , iloczyn liczby najdłuższych przekątnych przez liczbę najkrótszych przekątnych jest o 342 większy niż liczba osi symetrii tego wielokąta. Oblicz n .

Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy kilka wielokątów foremnych, to powinniśmy zauważyć, że n –kąt foremny ma zawsze n osi symetrii oraz n najkrótszych przekątnych (każda taka przekątna odcina jeden wierzchołek)

PIC

Jeżeli chodzi o liczbę najdłuższych przekątnych, to sprawa jest bardziej skomplikowana – jeżeli n jest parzyste, to jest ich n2 , a jeżeli n jest nieparzyste, to jest ich n .

PIC

Musimy więc rozwiązać dwa równania. Najpierw przypadek n parzystego.

n n ⋅ --= n + 3 42 / ⋅2 2 n 2 − 2n− 684 = 0 √ -------2 Δ = 4 + 273 6 = 2740 = (2 5⋅ 137) .

Ponieważ √ -- Δ jest niewymierny, równanie to nie ma rozwiązań całkowitych.

Teraz przypadek n nieparzystego.

2 n = n+ 342 2 Δ = 1+ 1368 = 13 69 = 37 1−--37- 1-+-37- n = 2 < 0 lub n = 2 = 19.

 
Odpowiedź: n = 19

Wersja PDF