Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 8152750

W n –kącie foremnym, gdzie n ≥ 6 , iloczyn liczby najdłuższych przekątnych przez liczbę najkrótszych przekątnych jest o 342 większy niż liczba osi symetrii tego wielokąta. Oblicz n .

Wersja PDF
Rozwiązanie

Jeżeli narysujemy kilka wielokątów foremnych, to powinniśmy zauważyć, że n –kąt foremny ma zawsze n osi symetrii oraz n najkrótszych przekątnych (każda taka przekątna odcina jeden wierzchołek)


PIC


Jeżeli chodzi o liczbę najdłuższych przekątnych, to sprawa jest bardziej skomplikowana – jeżeli n jest parzyste, to jest ich n2 , a jeżeli n jest nieparzyste, to jest ich n .


PIC


Musimy więc rozwiązać dwa równania. Najpierw przypadek n parzystego.

 n n ⋅ --= n + 3 42 / ⋅2 2 n 2 − 2n− 684 = 0 √ -------2 Δ = 4 + 273 6 = 2740 = (2 5⋅ 137) .

Ponieważ √ -- Δ jest niewymierny, równanie to nie ma rozwiązań całkowitych.

Teraz przypadek n nieparzystego.

 2 n = n+ 342 2 Δ = 1+ 1368 = 13 69 = 37 1−--37- 1-+-37- n = 2 < 0 lub n = 2 = 19.

 
Odpowiedź: n = 19

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!