/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Różne

Zadanie nr 9390009

Miara kąta wewnętrznego n –kąta foremnego jest o ∘ 3 mniejsza od miary kąta wewnętrznego (n + 6) – kąta foremnego. Oblicz n .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Obliczmy najpierw miarę kąta wewnętrznego n –kąta foremnego – możemy go rozciąć na n − 2 trójkątów.

PIC

Suma kątów n –kąta jest więc równa

(n − 2) ⋅180∘,

a miara pojedynczego kąta to

∘ ∘ (n-−-2-)⋅180-- = 180∘ − 360-. n n

Pozostało teraz rozwiązać równanie

∘ ∘ ( ) 180∘ − 36-0- = 180 ∘ − 360---− 3∘ / ⋅ − n-(n+--6) n n+ 6 3∘ 12 0(n+ 6) = 120n + n(n + 6) 120n + 720 = 120n + n2 + 6n 2 0 = n + 6n − 7 20 Δ = 36 + 28 80 = 2916 = 542 n = −-6-−-54-= − 30 lub n = −-6+--54-= 24 . 2 2

Ujemne rozwiązanie oczywiście odrzucamy.  
Odpowiedź: n = 24

Wersja PDF