/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Wielokąty/Różne

Zadanie nr 9656817

Czy istnieje taki wielokąt, który ma 2 razy więcej przekątnych niż boków?

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Ponieważ w wielokącie z każdego wierzchołka wychodzi tyle samo przekątnych, w wielokącie spełniającym warunki zadania z każdego wierzchołka muszą wychodzić 4 przekątne (dwa razy więcej niż boków). Zatem wielokąt musi mieć 7 wierzchołków (końce 4 przekątnych, plus wierzchołek, na który patrzymy i jego dwaj sąsiedzi). Łatwo sprawdzić, że 7–kąt rzeczywiście ma 14 przekątnych.

PIC

Sposób II

Możemy skorzystać ze wzoru

n(n-−-3)- 2

na liczbę przekątnych n –kąta. Wzór ten jest wyprowadzony tu. Wzór ten daje nam równanie

n(n-−-3)- 2 = 2n 2 n − 3n = 4n n 2 − 7n = 0 ⇒ n (n− 7) = 0 ⇒ n = 7.

 
Odpowiedź: Siedmiokąt

Wersja PDF