Zadanie nr 6416603
Korzystając z definicji funkcji rożnowartościowej wykaż, że funkcja określona wzorem
jest rożnowartościowa.
Rozwiązanie
Musimy wykazać, że jeżeli to
. Liczymy
![3 3 3 3 0 = f(x) − f (y) = x + 2x − 3 − (y + 2y − 3) = x − y + 2 (x− y) = = (x − y)(x2 + xy + y 2)+ 2(x − y) = (x − y)(x2 + xy + y 2 + 2).](https://img.zadania.info/zad/6416603/HzadR2x.gif)
Jeżeli uda nam się wykazać, że wyrażenie w drugim z nawiasów jest niezerowe, to będzie koniec, bo powyższa równość będzie oznaczać, że . Przekształćmy (zwiniemy do pełnego kwadratu)
![( ) 2 2 2 1 2 3 2 1 2 3 2 x + xy + y + 2 = x + xy+ -y + -y + 2 = x + --y + -y + 2 > 0. 4 4 2 4](https://img.zadania.info/zad/6416603/HzadR4x.gif)
Wyrażenie to jest więc niezerowe, co oznacza, że .