Zadanie nr 1143096

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 − 8xy + 4y2 + 4 > 0.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

4 2 x − 8xy + 4y + 4 > 0 (x 4 − 4x 2 + 4)+ (4x 2 − 8xy + 4y2) > 0 (x 2 − 2)2 + 4(x − y )2 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową

2 4 f(y) = 4y − 8xy + (x + 4)

zmiennej z parametrem . Ponieważ

2 4 2 4 Δ = (8x ) − 4 ⋅4(x + 4) = 1 6(4x − x − 4) = = − 16(x 4 − 4x 2 + 4 ) = − 16(x2 − 2)2 ≤ 0

parabola będąca wykresem funkcji z = f(y) nigdy nie ma punktów leżących poniżej (poziomej!) osi (dla 2 x = 2 jest styczna do osi , a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi ). To oznacza, że faktycznie zawsze f(y ) ≥ 0 . Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy x2 = 2 . Wtedy