Sposób I
Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.
Sposób II
Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową
zmiennej z parametrem
. Ponieważ
parabola będąca wykresem funkcji nigdy nie ma punktów leżących poniżej (poziomej!) osi
(dla
jest styczna do osi
, a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi
). To oznacza, że faktycznie zawsze
. Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy
. Wtedy
i równość prowadzi do sprzeczności z założeniem
.