Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 1143096

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

x4 − 8xy + 4y2 + 4 > 0.
Wersja PDF
Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

 4 2 x − 8xy + 4y + 4 > 0 (x 4 − 4x 2 + 4)+ (4x 2 − 8xy + 4y2) > 0 (x 2 − 2)2 + 4(x − y )2 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia x ⁄= y ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową

 2 4 f(y) = 4y − 8xy + (x + 4)

zmiennej y z parametrem x . Ponieważ

 2 4 2 4 Δ = (8x ) − 4 ⋅4(x + 4) = 1 6(4x − x − 4) = = − 16(x 4 − 4x 2 + 4 ) = − 16(x2 − 2)2 ≤ 0

parabola będąca wykresem funkcji z = f(y) nigdy nie ma punktów leżących poniżej (poziomej!) osi Oy (dla  2 x = 2 jest styczna do osi Oy , a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi Oy ). To oznacza, że faktycznie zawsze f(y ) ≥ 0 . Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy x2 = 2 . Wtedy

f (y) = 4y2 − 8xy + 4 + 4 = 4y2 − 8xy + 8 = 2 2 2 2 = 4(y − 2xy + x )+ (8 − 4x ) = 4(y − x) .

i równość f(y) = 0 prowadzi do sprzeczności z założeniem x ⁄= y .

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!