Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych x, y... Zadania.info: rozwiązanie zadania, 2 liczby, 1143096

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Nierówności

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Konkursy/Zadania/Nierówności/2 liczby

Zadanie nr 1143096

Udowodnij, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych $x,y$ prawdziwa jest nierówność

x4 − 8xy + 4y2 + 4 > 0.

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

4 2 x − 8xy + 4y + 4 > 0 (x 4 − 4x 2 + 4)+ (4x 2 − 8xy + 4y2) > 0 (x 2 − 2)2 + 4(x − y )2 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona (bo z założenia $x ⁄= y$ ), a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Sposób II

Traktujemy lewą stronę nierówności jak funkcję kwadratową

2 4 f(y) = 4y − 8xy + (x + 4)

zmiennej $y$ z parametrem $x$ . Ponieważ

2 4 2 4 Δ = (8x ) − 4 ⋅4(x + 4) = 1 6(4x − x − 4) = = − 16(x 4 − 4x 2 + 4 ) = − 16(x2 − 2)2 ≤ 0

parabola będąca wykresem funkcji $z = f(y)$ nigdy nie ma punktów leżących poniżej (poziomej!) osi $Oy$ (dla $2 x = 2$ jest styczna do osi $Oy$ , a w pozostałych przypadkach leży w całości powyżej osi $Oy$ ). To oznacza, że faktycznie zawsze $f(y ) ≥ 0$ . Aby udowodnić ostrą nierówność zauważmy, że równość może zachodzić tylko gdy $x2 = 2$ . Wtedy