/Konkursy/Zadania/Nierówności/2 liczby

Zadanie nr 1605515

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Udowodnij, że jeżeli a > 0 to dla wszystkich x ∈ R spełniona jest nierówność ax + a−x ≥ 2 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształćmy lewą stronę nierówności

x −x (√ -x- √ -−x-)2 √ -x---−x- ( x2 − x2)2 a + a = a − a + 2 2 ⋅2 = a − a + 2 ≥ 2 .

Sposób II

Jeżeli podstawimy t = ax to t > 0 i mamy nierówność

t+ 1-≥ 2 / ⋅t t t2 + 1 ≥ 2t 2 t − 2t+ 1 ≥ 0 (t− 1)2 ≥ 0,

która jest oczywiście prawdziwa.

Sposób III

Niech x −x f (x) = a + a . Jeżeli a = 1 , to nierówność jest oczywiście spełniona, więc załóżmy, że a ⁄= 1 . Funkcja f jest parzysta:

x −x −x x f(−x ) = a + a = a + a = f(x),

więc wystarczy udowodnić, że f(x) ≥ 2 dla x ≥ 0 .

Liczymy pochodną

( ) 2x ′ x −x x -1- (a--−--1)lna- f(x ) = a ln a− a ln a = a − ax ⋅lna = ax .

Zauważmy teraz, że jeżeli a > 1 (i x ≥ 0 z założenia), to 2x a ≥ 1 i ln a > 0 . Podobnie, jeżeli a ∈ (0,1) , to a2x ≤ 1 i ln a < 0 . Zatem funkcja f jest rosnąca na przedziale ⟨0,+ ∞ ) i

f (x) ≥ f(0) = 1+ 1 = 2.

Na koniec wykres dla ciekawskich.

PIC

Wersja PDF