/Konkursy/Zadania/Nierówności/2 liczby

Zadanie nr 3334093

Udowodnij, że dla każdych dwóch liczb rzeczywistych x ≥ 1 i y ≥ 1 prawdziwa jest nierówność

x (x2 − 2x + 3)+ y(y2 − 2y + 3) ≥ 2xy + 2.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Przekształcamy daną nierówność w sposób równoważny.

2 2 x(x − 2x + 3) + y(y − 2y + 3) ≥ 2xy + 2 x3 − 2x2 + 3x + y3 − 2y 2 + 3y − 2xy − 2 ≥ 0 3 2 3 2 2 2 (x − 3x + 3x − 1) + (y − 3y + 3y − 1) + (x + y − 2xy ) ≥ 0 (x − 1)3 + (y− 1)3 + (x− y)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy przy pomocy równoważności, więc wyjściowa nierówność też musiała być spełniona.

Wersja PDF