Zadanie nr 2429416
Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji w przedziale
.
Rozwiązanie
Liczymy pochodną
![2 2 2 f′(x ) = 2(1-+-x-)-−-2x-⋅2x-= 2(1-+-x-)-−-4x--= (1+ x2)2 (1 + x 2)2 2 − 2x2 2(1 − x)(1 + x) = ------2-2-= ---------2-2---. (1 + x ) (1 + x )](https://img.zadania.info/zad/2429416/HzadR0x.gif)
Widać zatem, że na przedziałach i
funkcja maleje (pochodna jest ujemna), a na przedziale
rośnie (pochodna dodatnia). Zatem w
jest minimum lokalne, a w
maksimum lokalne. Możemy sobie schematycznie naszkicować wykres funkcji
.
Wartość największa będzie przyjęta w maksimum lokalnym lub w lewym końcu przedziału (bo przy prawym funkcja maleje). Sprawdzamy
![f(1) = --2---= 1 1+ 1 −4 4 f(− 2) = -----= − --. 1+ 4 5](https://img.zadania.info/zad/2429416/HzadR8x.gif)
Zatem .
Wartość najmniejsza będzie przyjęta w minimum lokalnym lub w prawym końcu przedziału (bo przy lewym funkcja maleje). Sprawdzamy
![f (− 1) = -−-2--= −1 1 + 1 --4--- 4- f (2) = 1 + 4 = 5.](https://img.zadania.info/zad/2429416/HzadR10x.gif)
Zatem .
Odpowiedź: oraz