Zadanie nr 2571470
Dana jest funkcja .
- Określ przedziały monotoniczności tej funkcji.
- Znajdź ekstrema lokalne funkcji
.
Rozwiązanie
- Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu.
liczymy pochodną danej funkcji
Aby wyznaczyć przedziały monotoniczności danej funkcji, musimy zbadać znak pochodnej. Mianownik jest dodatni (o ile
), musimy zatem rozłożyć trójmian w liczniku.
,
,
. Widzimy zatem, że licznik jest dodatni dla
i ujemny dla
. Uwzględniając jeszcze fakt, że musi być
mamy
Odpowiedź: Rosnąca wi
, malejąca w
i
.
- Z poprzedniego podpunktu wiemy, że miejsca zerowe pochodnej to
i
. Ponadto w pierwszym z tych punktów funkcja zmienia znak z ’+’ na ’-’, a w drugim odwrotnie. Zatem w
mamy maksimum lokalne, a w
minimum lokalne. Odpowiadające wartości
, to
i
.
Odpowiedź: Minimum lokalne:, maksimum lokalne:
.
Dla ciekawskich, wykres funkcji .
