/Szkoła średnia/Funkcje/Wymierna/Zbiór wartości

Zadanie nr 2914848

Funkcja f określona jest wzorem x2−1 f(x ) = x .

  • Wykaż ze zbiorem wartości funkcji f jest zbiór liczb rzeczywistych.
  • Uzasadnij, że funkcja f nie jest rożnowartościowa.
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Musimy uzasadnić, że równanie
    x2 −-1- x = m ,

    (z niewiadomą m ) ma zawsze rozwiązanie. Liczymy (wyliczamy x )

    x2 − 1 = xm 2 x − mx − 1 = 0.

    Dalej, Δ = m2 + 4 > 0 , co oznacza, że równanie to ma zawsze dwa różne rozwiązania. W szczególności jedno z nich jest niezerowe (musimy takie znaleźć, bo 0 nie należy do dziedziny funkcji f ).

  • Musimy znaleźć dwie wartości x1 i x 2 , dla których f(x1) = f (x2) . Można spróbować zgadnąć, ale można też skorzystać z poprzedniego podpunktu. Uzasadniliśmy w nim, że każdą wartość funkcja f przyjmuje w 2 punktach (w zasadzie mogłoby się zdarzyć, że jednym z pierwiastków otrzymanego równania kwadratowego jest 0 i wtedy mamy tylko jednego x -a, a nie dwa, ale łatwo sprawdzić, że x = 0 nigdy nie jest pierwiastkiem).

    Jeżeli chcemy mieć konkretny przykład, to biorąc np. m = 0 mamy x = ± 1 , czyli

    f(− 1) = f(1) = 0.
Wersja PDF