Uzasadnij, że funkcja f(x)=x^2+frac{2}{x} przyjmuje dla dodatnich... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Zbiór wartości, 5194122

Forum

Wymierna

Zadanie nr 5194122

Uzasadnij, że funkcja $2 2 f (x) = x + x$ przyjmuje dla dodatnich argumentów wartości nie mniejsze niż 3.

Rozwiązanie

Sposób I

Wystarczy pokazać, zbiór rozwiązań nierówności

2 x 2 + --≥ 3 x

zawiera wszystkie liczby dodatnie. Liczymy

2 2 x + x-≥ 3 3 x--+-2-−-3x-≥ 0 x

Aby rozłożyć licznik szukamy jego miejsc zerowych. Łatwo znaleźć pierwiastek $x = 1$ . Dzielimy licznik przez $x − 1$ . My zrobimy to grupując wyrazy

x 3 + 2− 3x = (x3 − x2) + (x2 − x) − (2x − 2) = (x− 1)(x2 + x− 2).

Rozkładamy trójmian w nawiasie, $Δ = 1+ 8 = 9$ , $x = − 2$ lub $x = 1$ . Możemy więc zapisać naszą nierówność w postaci

2 (x-−-1)-(x-+-2)-≥ 0. x

Ta nierówność jest oczywiście spełniona przez każdą liczbę dodatnią (bo każdy składnik jest nieujemny).

Na koniec, dla ciekawkich, wykres funkcji $f(x)$

Sposób II

Na mocy nierówności

√ ---- a-+-b-+-c ≥ 3 abc 3

między średnimi arytmetyczną i geometryczną mamy

2 1 1 ∘ --------- x2 + 2-= 3⋅ x-+--x-+-x-≥ 3 3x 2 ⋅ 1-⋅ 1-= 3. x 3 x x

Twoje uwagi

Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!