Zadanie nr 6283558
Wyznacz przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji .
Rozwiązanie
Oczywiście liczymy pochodną.
![2 2 3 2 4 2 2 2 f′(x) = 3x--(3−--x-)−--x-(−-2x) = 9x--−-x---= x--(9−--x-) = x--(3−--x)(3+--x) (3 − x2)2 (3− x2)2 (3 − x2)2 (3 − x2)2](https://img.zadania.info/zad/6283558/HzadR0x.gif)
Widać stąd, że
![{ f′(x) ≤ 0 dla x ∈ (−∞ ,− 3⟩ ∪ ⟨3,∞ ) √ -- √ --√ -- √ -- f′(x) ≥ 0 dla x ∈ ⟨−3 ,− 3 )∪ (− 3, 3) ∪ ( 3,3⟩](https://img.zadania.info/zad/6283558/HzadR1x.gif)
Zatem
![{ f(x) maleje dla x ∈ (− ∞ ,− 3⟩, x ∈ ⟨3,∞ ) √ -- √ --√ -- √ -- f(x) rośnie dla x ∈ ⟨− 3 ,− 3 ), x ∈ (− 3, 3), x ∈ ( 3,3⟩](https://img.zadania.info/zad/6283558/HzadR2x.gif)
Z powyższej analizy widzimy, że zmienia znak w punktach
i
. W pierwszym z nich jest minimum a w
maksimum lokalne. Obliczamy jeszcze wartości w tych punktach.
![− 27 27 9 f(− 3) = ------= ---= -- 3− 9 6 2 f(3) = -27---= − 27-= − 9. 3− 9 6 2](https://img.zadania.info/zad/6283558/HzadR7x.gif)
Dla ciekawskich wykres funkcji .
Odpowiedź: Minimum lokalne: , maksimum lokalne:
.