Zadanie nr 6775083
Liczby rzeczywiste i
spełniają warunek
. Wyznacz takie wartości
i
, dla których wyrażenie
przyjmuje największą wartość. Podaj tę największą wartość.
Rozwiązanie
Zauważmy najpierw, że ułamek ma tym większą wartość, im mniejszy jest jego mianownik. Z tego powodu zajmiemy się znalezieniem najmniejszej możliwej wartości funkcji kwadratowej w mianowniku danego wyrażenia.
Wiemy, że , więc interesuje nas wartość wyrażenia
![f(x) = 3x 2 + z2 + 2xz = 3x2 + (2x − 1)2 + 2x (2x − 1) = 2 2 2 2 = 3x + 4x − 4x+ 1+ 4x − 2x = 1 1x − 6x + 1.](https://img.zadania.info/zad/6775083/HzadR1x.gif)
Wykresem tej funkcji jest parabola o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie
![( ) ( ) ( ) b-- −Δ-- -6- −-(36-−-44)- -3- -2- (xw,yw ) = − 2a, 4a = 22 , 4 4 = 11 ,11 .](https://img.zadania.info/zad/6775083/HzadR2x.gif)
W takim razie najmniejsza możliwa wartość tej funkcji kwadratowej to i otrzymamy ją dla
i
.
Dla tych samych wartości otrzymujemy największą możliwą wartość wyrażenia
![------4-------- 3x2 + z2 + 2xz](https://img.zadania.info/zad/6775083/HzadR7x.gif)
i jest ona równa
![4--= 2 2. 121](https://img.zadania.info/zad/6775083/HzadR8x.gif)
Odpowiedź: ,
,