Zadanie nr 9348732
Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej prawdziwa jest nierówność
.
Rozwiązanie
Sposób I
Przekształcamy nierówność (pamiętamy, że ).
![3 a3 + --≥ 4 / ⋅a a a4 + 3 ≥ 4a 4 a − 4a + 3 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR1x.gif)
Rozłożymy teraz wielomian z lewej strony nierówności na czynniki.
Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy wielomian przez
, my zrobimy to grupując wyrazy.
![a 4 − 4a + 3 = (a4 − a3)+ (a3 − a2) + (a2 − a)− 3(a− 1) = 3 2 = (a− 1)(a + a + a − 3).](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR4x.gif)
Łatwo zauważyć, że jest pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie. Dzielimy go przez
.
![3 2 3 2 2 2 a + a + a − 3 = (a − a )+ (2a − 2a )+ (3a − 3) = (a− 1 )(a + 2a + 3 ).](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR7x.gif)
Daną nierówność możemy więc zapisać w postaci
![(a − 1)2(a2 + 2a + 3) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR8x.gif)
Nierówność ta jest oczywiście spełniona, bo trójmian w drugim nawiasie jest zawsze dodatni ().
Sposób II
Na mocy nierówności
![a+--b+--c+-d- √4----- 4 ≥ abcd](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR10x.gif)
między średnimi: arytmetyczną i geometryczną mamy
![∘ ------------ 3 3 a3 + 1a + 1a + 1a 3 1 1 1 a + a-= 4 ⋅-------4------- ≥ 4 a ⋅-a ⋅ a-⋅a-= 4 .](https://img.zadania.info/zad/9348732/HzadR11x.gif)