Zadanie nr 9348732

Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej prawdziwa jest nierówność a3 + 3a ≥ 4 .

Rozwiązanie

Sposób I

Przekształcamy nierówność (pamiętamy, że a > 0 ).

3 a3 + --≥ 4 / ⋅a a a4 + 3 ≥ 4a 4 a − 4a + 3 ≥ 0.

Rozłożymy teraz wielomian z lewej strony nierówności na czynniki.

Łatwo zauważyć, że jednym z pierwiastków jest a = 1 . Dzielimy wielomian przez a− 1 , my zrobimy to grupując wyrazy.

a 4 − 4a + 3 = (a4 − a3)+ (a3 − a2) + (a2 − a)− 3(a− 1) = 3 2 = (a− 1)(a + a + a − 3).

Łatwo zauważyć, że a = 1 jest pierwiastkiem wielomianu w drugim nawiasie. Dzielimy go przez a − 1 .

3 2 3 2 2 2 a + a + a − 3 = (a − a )+ (2a − 2a )+ (3a − 3) = (a− 1 )(a + 2a + 3 ).

Daną nierówność możemy więc zapisać w postaci

(a − 1)2(a2 + 2a + 3) ≥ 0.

Nierówność ta jest oczywiście spełniona, bo trójmian w drugim nawiasie jest zawsze dodatni ( Δ < 0 ).

Sposób II

Na mocy nierówności

a+--b+--c+-d- √4----- 4 ≥ abcd

między średnimi: arytmetyczną i geometryczną mamy

∘ ------------ 3 3 a3 + 1a + 1a + 1a 3 1 1 1 a + a-= 4 ⋅-------4------- ≥ 4 a ⋅-a ⋅ a-⋅a-= 4 .