Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR
Zadanie nr 2569923

Dany jest ciąg określony wzorem  2n3−4n2−18n+36 an = n2+n−6 .

  • Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi.
  • Sprawdź, czy jest to ciąg arytmetyczny.
Wersja PDF
Rozwiązanie
  •  

    Sposób I

    Rozłóżmy wielomian w liczniku ułamka definiującego ciąg a n . Łatwo to zrobić grupując wyrazy.

     3 2 2 2n − 4n − 18n + 36 = 2n (n− 2)− 18(n − 2) = = 2(n − 2 )(n2 − 9) = 2(n − 2)(n − 3 )(n + 3).

    Teraz rozkładamy trójmian w mianowniku.

     2 0 = n + n − 6 Δ = 1 + 2 4 = 25 n = −-1-−-5 = − 3 lub n = −-1-+-5 = 2. 2 2

    Mamy zatem

     2(n − 2)(n − 3 )(n+ 3) an = ----------------------- = 2(n − 3 ) = 2n − 6. (n + 3)(n − 2 )

    Widać teraz, że wszystkie wyrazy ciągu (an ) są faktycznie liczbami całkowitymi.

    Sposób II

    Aby wykazać, że każdy wyraz ciągu jest liczbą całkowitą, spróbujmy podzielić n3 − 2n2 − 9n + 1 8 przez n2 + n − 6 . My zrobimy to grupując wyrazy.

     3 2 3 2 2 n − 2n − 9n + 18 = (n + n − 6n)− 3n − 3n + 18 = = n (n2 + n − 6) − 3(n2 + n − 6) = (n 2 + n− 6)(n − 3).

    Mamy zatem

     3 2 2 a = 2(n--−-2n--−--9n-+-18) = 2(n--+-n-−-6)(n-−-3-)= 2(n − 3) = 2n − 6. n n2 + n − 6 n2 + n − 6

    Widać teraz, że wszystkie wyrazy ciągu (an ) są faktycznie liczbami całkowitymi.

  • Zauważmy, że podany ciąg
    a = 2(n−--2)(n-−-3)(n-+-3)-. n (n+ 3)(n − 2)

    nie jest określony dla n = 2 (choć jest określony dla n = 1 i n = 3 ), więc nie jest ciągiem arytmetycznym.  
    Odpowiedź: Nie, nie jest arytmetyczny.

Wersja PDF
Twoje uwagi
Nie rozumiesz fragmentu rozwiązania?
W rozwiązaniu jest błąd lub literówka?
Masz inny pomysł na rozwiązanie tego zadania?
Napisz nam o tym!