/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny/Różne

Zadanie nr 3654964

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (an) jest określony wzorem

( ( ) ( ) ( ) )− 1 an = (lo g n)− 1 + lo g n −1 + ...+ log n − 1 + log n − 1 , dla n ≥ 2. 2 3 19 20

Oblicz sumę 19 początkowych wyrazów ciągu (an) .

Rozwiązanie

Będziemy chcieli kilka razy skorzystać z bardzo użytecznej własności logarytmów:

log b = logb b-= --1--- = (log a)−1. a logb a logb a b

Mamy zatem

( −1 ( )−1 ( )− 1)− 1 an = (lo g2n ) + log3n + ...+ log 20n −1 −1 = (logn 2 + logn 3+ ...+ logn 20) = (logn (2 ⋅3⋅ ...⋅20)) = −1 = (logn 20!) = log 20!n .

Suma 19 początkowych wyrazów ciągu (an) jest więc równa

a2 + a3 + ...+ a20 = log20!2 + log20!3+ ...+ log20!20 = = log (2 ⋅3⋅ ...⋅20) = log 20! = 1. 20! 20!

 
Odpowiedź: 1

Wersja PDF