Ciąg (a_n) dany jest wzorem a_n=tg (frac{π}{4} + n∙frac{π}{2}).... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Różne, 5252388

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny/Różne

Zadanie nr 5252388

Ciąg $(an)$ dany jest wzorem $π- π- an = tg (4 + n ⋅ 2)$ . Oblicz sumę $a1 + 2a2 + 3a3 + ⋅⋅⋅+ 50a50$ .

Rozwiązanie

Spróbujmy rozszyfrować czym jest ciąg $an$ . Policzmy kilka jego pierwszych wyrazów (korzystamy z tego, że $tg(α + π ) = tgα$ oraz $tg (π2-+ α) = − ctgα$ ).

( π π ) π a1 = tg --+ -- = − ctg-- = −1 ( 4 2) 4 a2 = tg π-+ π = tg π-= 1 ( 4 ) 4 π- 3-π (π- π-) a3 = tg 4 + 2 = tg 4 + 2 = a1 = − 1 ( π ) π a4 = tg --+ 2π = tg --= 1. 4 4

itd. Widać, że $a1 = a3 = a5 = ⋅⋅⋅ = − 1$ i $a2 = a 4 = ⋅⋅⋅ = 1$ . Równości te łatwo uzasadnić (powyżej sprawdziliśmy je tylko w szczególnych przypadkach) korzystając z tego, że $π$ jest okresem tangensa.