/Szkoła średnia/Ciągi/Dowolny/Różne

Zadanie nr 7942167

Różnica ciągu arytmetycznego an = log3 xn jest równa − 1 + log 32 . Oblicz a1 jeżeli wiadomo, że

x 1 + x 2 + ⋅⋅ ⋅+ x10 = 910 − 610.
Wersja PDF

Rozwiązanie

Po pierwsze zauważmy, że z podanych informacji wynika, że ciąg (xn ) jest geometryczny. Rzeczywiście, wiemy, że

lo g3xn+ 1 − lo g3xn = lo g32 − 1 = log 32 − log33 xn-+1 2- lo g3 x = log 33 n xn+1-= 2. xn 3

Zatem (xn) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 23 .

Korzystając ze wzoru na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego mamy więc

10 10 1− q10 9 − 6 = x1 ⋅------- 1− q 1− (2)10 310−12010- 310 − 210 910 − 610 = x1 ⋅-----32---= x 1 ⋅-31--- = x1 ⋅-----9--- 1− 3 3 3 39(910 − 6 10) 39((3 ⋅3)10 − (2 ⋅3)10) 39 ⋅3 10(3 10 − 210) x1 = -------------= -----------------------= ------------------= 3 19. 310 − 210 310 − 2 10 310 − 210

Zatem a1 = log 319 = 19 3 .  
Odpowiedź: a = 1 9 1

Wersja PDF