Zadanie nr 9671439

Na bokach i trójkąta ABC , który nie jest równoramienny, wybrano takie punkty i , że |AD | : |DB | = 1 : k oraz |AE | : |EC | = k : 1 , dla k ∈ (0,+ ∞ ) .

Wyznacz wzór funkcji , która jest zdeﬁniowana jako stosunek pól trójkątów i .
Wiedząc że , dla wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których trójkąty i są podobne.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli dorysujemy wysokości opuszczone z punktów i na bok ,

to z podobieństwa trójkątów i mamy

$EK AE k k ----= ---- = ------ ⇒ EK = ------⋅CL . CL AC k + 1 k + 1$

Ponadto z założenia

$AD 1 1 AB-- = k+-1-- ⇒ AD = k-+-1AB .$

Możemy więc wyliczyć pole trójkąta w zależności od pole trójkąta .

$2P = AD ⋅EK = --1--AB ⋅ --k--⋅CL = ---k----⋅ 2P . AED k + 1 k+ 1 (k+ 1)2 ABC$

Zatem

$f (k) = 2PAED--= ----k---. 2PABC (k + 1)2$

Sposób II

Szukany stosunek pól można też łatwo wyliczyć ze wzoru na pole z sinusem.

$--1-AB ⋅-k-AC f(k) = 2PAED--= AD--⋅AE--sinα-= k+-1-----k+1---- = ----k---. 2PABC AB ⋅AC sin α AB ⋅AC (k + 1)2$

Odpowiedź:
Ponieważ trójkąt nie jest równoramienny oraz ma on wspólny kąt z trójkątem , mamy dokładnie dwie możliwości: albo albo .
W pierwszej sytuacji proste i są równoległe co oznacza, że

$AE-- AD-- EC = DB k 1 --= -- ⇐ ⇒ k = 1. 1 k$

W drugiej sytuacji, z podobieństwa trójkątów i mamy

$AE AD AB--= AC-- --k- -1-- k+-1AC- k+1AB-- AB = AC ( ) 2 k = AB-- = m 2. AC$

Odpowiedź: lub