/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 1047582

Dany jest rosnący ciąg geometryczny 2 (a,aq,aq ) , którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o 4, to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz tego ciągu.

Rozwiązanie

Wiemy, że ciąg 2 (a,aq,aq ) jest rosnący, więc jego największym wyrazem jest aq2 . W takim razie ciąg (a,aq,aq 2 − 4) jest arytmetyczny i mamy

2 aq = a+--aq-−--4- / ⋅2 2 4 = a + aq 2 − 2aq = a(1 + q2 − 2q) = a(1 − q)2 / : (1− q)2 a = ---4----. (1− q)2

Z założenia i są liczbami całkowitymi, więc 2 (q− 1) jest kwadratem liczby całkowitej dzielącym 4. Zatem (q − 1)2 = 1 lub (q− 1)2 = 4 . Pierwsza możliwość odpada, bo z założenia jest liczbą nieparzystą. Zatem q − 1 = ± 2 , czyli q = −1 lub q = 3 . Tylko w drugim przypadku otrzymujemy ciąg rosnący, więc q = 3 i