/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 1920022

Czterowyrazowy ciąg (a,b,c,d) jest rosnący i arytmetyczny. Suma kwadratów trzech najmniejszych wyrazów tego ciągu jest pięciokrotnie większa od kwadratu czwartego wyrazu. Ponadto ciąg (a − 10,b ,c) jest geometryczny. Oblicz wyrazy ciągu (a,b,c,d) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Jeżeli oznaczymy przez r różnicę danego ciągu, to b = a+ r , c = a + 2r oraz d = a+ 3r . Pozostałe podane informacje prowadzą do układu równań

{ a 2 + b2 + c2 = 5d 2 2 {b = (a− 10)c a 2 + (a + r)2 + (a+ 2r)2 = 5(a + 3r)2 (a + r)2 = (a − 10 )⋅(a + 2r) { 2 2 2 2 2 2 2 a + a + 2ar + r + a + 4ar+ 4r = 5a + 30ar + 45r a 2 + 2ar + r2 = a2 + 2ar − 10a − 2 0r. { 0 = 2a2 + 24ar + 40r2 2 0 = r + 1 0a+ 20r.

Drugie równanie na chwilę zostawmy tak jak jest, a pierwsze podzielmy stronami przez 2 r – możemy to zrobić, bo wiemy, że ciąg jest rosnący, czyli r > 0 .

2 2 2 0 = 2a + 24ar + 40r / : (2r ) ( a) 2 a- 0 = r + 12 ⋅ r + 20.

Podstawiamy teraz t = a r .

2 0 = t + 12t+ 2 0 Δ = 144 − 80 = 64 − 12 − 8 − 12 + 8 t = ---------= − 10 lub t = ---------= − 2 2 2

Zatem a = − 10r lub a = − 2r . Załóżmy najpierw, że a = − 10r . Podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.

2 2 2 0 = r + 10a + 20r = r − 1 00r+ 20r = r − 80r 0 = r(r − 80).

Interesują nas tylko dodatnie wartości r (bo ciąg ma być rosnący), więc mamy stąd r = 80 , a = − 10r = − 80 0 i

(a,b ,c,d ) = (− 800,− 720,− 64 0,− 560).

Pozostał jeszcze do rozpatrzenia drugi przypadek, gdy a = − 2r . Tak jak poprzednio podstawiamy to wyrażenie do drugiego równania układu.

2 2 2 0 = r + 10a+ 20r = r − 20r + 20r = r

Ponieważ interesują nas tylko dodatnie wartości r , w tym przypadku nie otrzymamy nowych rozwiązań.  
Odpowiedź: (a,b,c,d) = (− 80 0,− 720,− 640,− 56 0)

Wersja PDF