/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2048221

Trzy liczby, których suma jest równa 93, tworzą ciąg geometryczny. Te same liczby stanowią pierwszy, drugi oraz siódmy wyraz ciągu arytmetycznego. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań.

{ a+ b+ c = 93 b2 = ac

Dodatkowo mamy informację o ciągu arytmetycznym, z której otrzymujemy b = a+ r i c = a+ 6r . Mamy więc równania

{ a+ a+ r + a + 6r = 9 3 (a+ r)2 = a(a+ 6r) { 3a+ 7r = 93 2 2 2 a + 2ar+ r = a + 6ar

Przekształćmy drugie równanie

2 r − 4ar = 0 r(r− 4a) = 0.

Jeżeli r = 0 to mamy a = b = c = 3 1 . Jeżeli natomiast r = 4a to z pierwszego równania mamy

3a + 28a = 93 3 1a = 93 ⇒ a = 3.

Wtedy r = 4a = 12 , b = a+ r = 15 i c = a + 6r = 75 .  
Odpowiedź: (31,3 1,31) lub (3 ,15,75)

Wersja PDF