/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2121162

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzy liczby tworzą rosnący ciąg geometryczny. Suma tych liczb jest równa 28. Liczby te są jednocześnie 1, 2 i 4 wyrazem ciągu arytmetycznego. Jakie to liczby?

Rozwiązanie

Z podanej informacji o sumie i o ciągu geometrycznym mamy układ równań.

{ a+ b + c = 28 b2 = ac

Dodatkowo mamy informację o ciągu arytmetycznym, z której otrzymujemy b = a+ r i c = a+ 3r . Mamy więc równania

{ a+ a+ r+ a + 3r = 28 (a+ r)2 = a(a+ 3r) { 3a + 4r = 28 2 2 2 a + 2ar+ r = a + 3ar

Przekształćmy drugie równanie

2 r − ar = 0 r(r− a) = 0.

Jeżeli r = 0 to a = b = c , co jest sprzeczne z założeniem, że ciąg ma być rosnący. Zatem r = a i z pierwszego równania mamy

3a + 4a = 28 7a = 2 8 ⇒ a = 4.

Wtedy r = a = 4 , b = a + r = 8 i c = a+ 3r = 16 .  
Odpowiedź: (4,8,16 )

Wersja PDF