/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2332285

Trzy liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Ich suma wynosi 18. Jeśli największą z tych liczb zwiększymy o 8, a pozostałych nie zmienimy, to uzyskamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Wyznacz te liczby.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że szukane liczby są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli są postaci: a− r,a,a + r . W dodatku znamy ich sumę

18 = a− r+ a + a + r = 3a ⇒ a = 6.

Zatem szukane liczby są postaci 6 − r,6,6 + r . Nie wiemy, która z tych liczb jest największa, więc musimy rozważyć dwa przypadki.

Jeżeli 6+ r jest największą liczbą, to wiemy, że 6 − r,6,14 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

2 36 = (6− r)(1 4+ r) = 84− 8r− r r2 + 8r− 48 = 0 / : 2 1-r2 + 4r − 24 = 0 2 Δ = 16 + 48 = 6 4 r = − 4 − 8 = − 1 2 ∨ r = − 4+ 8 = 4.

Ponieważ założyliśmy, że 6 + r jest największą z danych liczb, więc mamy r = 4 , czyli ciąg (2,6,10) .

Jeżeli 6− r jest największą liczbą, to wiemy, że 14 − r,6,6 + r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

36 = (14− r)(6+ r) = 84+ 8r− r2 r2 − 8r− 48 = 0 / : 2 1 --r2 − 4r − 24 = 0 2 Δ = 16 + 48 = 6 4 r = 4 − 8 = − 4 ∨ r = 4+ 8 = 12.

Ponieważ założyliśmy, że 6 − r jest największą z danych liczb, więc mamy r = − 4 , czyli ciąg (10,6,2) .

Sposób II

Szukamy trzech liczb (a,b,c) tworzących ciąg arytmetyczny. Ponieważ w takiej sytuacji ciąg (c,b,a) też jest arytmetyczny, możemy założyć (na użytek rachunków), że a < b < c (jeżeli tak nie jest, zapisujemy ciąg w odwrotnej kolejności). Liczby a,b,c mają spełniać układ równań

( |{ a + b + c = 18 |( 2b = a + c b2 = (c + 8) ⋅a.

Z pierwszych dwóch równań mamy

18 = b+ (a + c) = 3b ⇒ b = 6.

W takim razie

c = 18 − b − a = 12 − a.

Podstawiamy uzyskane wartości do trzeciego równania i mamy

36 = (20 − a)a 2 a − 2 0a+ 36 = 0 Δ = 4 00− 144 = 256 = 162 a = 20-−-16-= 2 ⇒ a = 20+--16-= 1 8. 2 2

Ponieważ założyliśmy, że a < b < c , drugie rozwiązanie odpada i mamy a = 2 . Wtedy c = 1 2− a = 10 . Pomijając złożenie a < b < c otrzymujemy drugi ciąg spełniający warunki zadania: (10,6,2 ) .  
Odpowiedź: (2,6,1 0) lub (10 ,6,2)

Wersja PDF