/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2554938

Trzy liczby tworzą ciąg arytmetyczny. Ich suma jest równa 30. Jeśli pierwszą i trzecią liczbę pozostawimy bez zmian, a drugą pomniejszymy o dwa to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu geometrycznego. Oblicz wyrazy ciągu arytmetycznego.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Oznaczmy szukane liczby przez a − r,a,a + r . Wtedy z podanej sumy mamy

a − r + a + a + r = 30 ⇒ 3a = 30 ⇒ a = 10.

Zatem szukamy liczb postaci 10− r,10 i 10 + r .

Wiemy ponadto, że liczby 1 0− r,8 ,1 0+ r są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli

82 = (10− r)(10+ r) 2 64 = 100 − r r2 = 3 6 ⇒ r = ± 6.

Dla r = − 6 mamy ciąg (16,10,4) , a dla r = 6 ciąg (4,10,16) .  
Odpowiedź: (16 ,1 0,4),(4,10,16)

Wersja PDF