/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2615464

Ciąg (a,b,c) jest geometryczny, a ciągi (4a − 4,2b − 2,c − 1) i (a + 5,b + 3,c − 15) są arytmetyczne. Oblicz a,b,c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, a w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Mamy więc układ równań

( |{ b2 = ac |( 2(2b − 2) = 4a − 4 + c − 1 2(b+ 3) = a + 5 + c− 15. ( 2 |{ b = ac 4b+ 1 = 4a + c |( 2b+ 16 = a + c.

Podstawiamy c = 2b + 1 6− a z trzeciego równania do dwóch pierwszych.

{ b2 = a(2b + 1 6− a) 4b + 1 = 4a + (2b + 1 6− a) { b2 = a(2b + 1 6− a) 2b − 15 = 3a

Podstawiamy teraz a = 23b − 5 z drugiego równania do pierwszego

( 2 ) ( 2 ) b2 = -b − 5 2b + 16 − --b+ 5 / ⋅9 3 3 9b2 = (2b − 15)(6b − 2b + 63 ) 2 9b = (2b − 15)(4b + 63 ) 9b2 = 8b2 − 60b + 126b − 9 45 b2 − 6 6b+ 945 = 0 2 2 Δ = 66 − 4 ⋅945 = 576 = 24 66 − 24 66+ 24 b = ---2----= 21 ∨ b = ---2----= 45.

W pierwszym przypadku mamy

2- a = 3b− 5 = 9 c = 2b + 16 − a = 49,

a w drugim

2 a = -b − 5 = 2 5 3 c = 2b + 1 6− a = 81.

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (9 ,21,49) lub (a,b,c) = (2 5,45,81)

Wersja PDF