/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 2651802

Ciąg (an) dany jest wzorem 5−-3n an = 7 , dla n ≥ 1 .

  • Oblicz sumę a2 + a4 + a6 + ...+ a104 .
  • Ustalmy n > 6 . Dla jakich x liczby an ,x2 + 2,an są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?
Wersja PDF

Rozwiązanie

  • Ze wzoru ciągu (an) widać, że jest to ciąg arytmetyczny (bo każdy ciąg postaci a + r⋅ n jest ciągiem arytmetycznym), ale dla pewności sprawdźmy to. Liczymy różnicę dwóch kolejnych wyrazów
    5 − 3n − 3 5− 3n − 3 an+ 1 − an = -----------− -------= ---. 7 7 7

    Skoro różnica jest stała (nie zależy od n ), ciąg jest arytmetyczny.

    Liczby a ,a ,⋅⋅⋅,a 2 4 104 również będą tworzyły ciąg arytmetyczny, ale o dwa razy większej różnicy

    2⋅ −-3-= −-6-. 7 7

    Możemy więc policzyć żądaną sumę ze wzoru: pierwszy+ostatni przez dwa razy liczba wyrazów. Wyrazów jest 52 (połowa liczb od 1 do 104), więc suma jest równa

    1 307 a2 +-a104 −-7 −--7-- S = 2 ⋅52 = 2 ⋅ 52 = − 22 ⋅52 = − 114 4.

     
    Odpowiedź: -1144

  • Trzy liczby a ,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego jeżeli b2 = ac . Daje to nam równanie
    (x2 + 2)2 = a2n 2 |x + 2| = |an| x2 + 2 = −an ⇒ x2 = − 2 − an

    Wartość bezwzględną opuściliśmy korzystając z tego, że n > 1 , czyli an < 0 . Ponieważ n ≥ 7 , mamy ponadto

    5−--3n- 5−--21- 16- an = 7 ≤ 7 = − 7 < − 2.

    Zatem − 2 − an > 0 i mamy √ --------- x = − 2− an lub √ --------- x = − − 2− an .  
    Odpowiedź: √ --------- x = − 2 − an lub √ --------- x = − − 2 − an .

Wersja PDF