Ciąg geometryczny

Deﬁnicja Ciąg (an ) nazywamy geometrycznym jeżeli iloraz każdych dwóch jego kolejnych wyrazów jest stały (nie zależy od ). W języku wzorów piszemy, że istnieje liczba q ⁄= 0 , dla której

an+1 = qan, dla n ≥ 1.

Liczbę nazywamy ilorazem ciągu (an) .

Ciąg stały

(a,a,a,a,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = 1 .

Ciąg naprzemienny

(a,−a ,a,−a ,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q = −1 .

Ciągi

(1,2,4,8,16,32 ,...) (1,3,9,27,81,2 43,...) ( 1 1 1 1 1 ) 1,-, -,--,--,---,... ( 2 4 8 16 3 2 ) 1- 1- -1- 1-- -1-- 1,− 3, 9,− 27 ,81,− 24 3,... .

kolejnych potęg 1 1 2,3 ,2,− 3 są ciągami geometrycznymi o ilorazach odpowiednio 1 1 2 ,3 ,2,− 3 .

Ciągi skończone

(8,12,18 ,27) ∘ ------ (4, log 16,log 2) (tgα ,− 1,ctg α).

są geometryczne (z ilorazmi √ log2 32,--2---,− tg1α odpowiednio).

Ciągi

(1,2,3 ,4 ,5,...) (1,4,9 ,1 6,25,...) (2,4,− 8,1 6,32,− 64,128,2 56,− 512,...)

nie są geometryczne, bo iloraz kolejnych wyrazów zależy od tego, które wyrazy przez siebie dzielimy (nie jest stały).

Dlaczego geometryczny? Dlaczego ciąg o stałych ilorazach kolejnych wyrazów nazywamy ciągiem geometrycznym? Powodem jest bardzo użyteczna charakteryzacja takiego ciągu:

Ciąg o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego jeżeli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

W języku wzorów piszemy

√ --------- an = an−1an+ 1, dla n ≥ 2.

Wykluczenie z powyższego warunku wyrazów pierwszego i ostatniego powinno być oczywiste – każdy z tych wyrazów ma tylko jednego sąsiada.

Ciąg (4 ,9,16) nie jest geometryczny bo

√ ------ 4⋅ 16 = 8 ⁄= 9 .

Aby sprawdzić, czy ciąg (8 ,1 2,18,27) jest geometryczny wystarczy sprawdzić prawdziwość dwóch równości

√ ------ √ ---- 8⋅18 = 144 = 1 2 √ ------- √ ---- 12⋅2 7 = 324 = 18.

Wzory Z deﬁnicji ciągu geometrycznego

an+1 = qan, dla n ≥ 1.

widać, że każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez liczbę . To oznacza, że cały ciąg jest wyznaczony przez swój pierwszy wyraz i iloraz . Można to nawet powiedzieć dokładniej: -ty wyraz powstaje z pierwszego przez mnożenie n − 1 razy przez iloraz (bo drugi powstaje przez mnożenie przez , trzeci przez mnożenie przez itd.). Daje to nam wzór na -ty wyraz ciągu geometrycznego.

n− 1 an = a1q .

Ile jest równy wyraz ciągu geometrycznego

1 5 45 135 305 5,− ---,---,− ---, ---,... 2 4 8 16

Gdy się przyjrzymy to powinno być widać, że mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie 3 q = − 2 . Zatem

( ) 13 13 13 3- 3-- a14 = a1q = 5 ⋅ − 2 = − 5 ⋅213.

Obliczmy iloraz ciągu geometrycznego (an) , w którym a129 = − 5 i a126 = 40 .
Ze wzoru na -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

128 − 5 = a129 = a1q 40 = a = a q 125 126 1

Dzieląc pierwszą równość przez drugą mamy

128 −-5-= − 1-= a1q--- = q3 ⇒ q = − 1. 40 8 a1q125 2

Jest jeszcze jeden wzór do zapamiętania, mianowicie wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym q ⁄= 1 .

n Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an = a1 ⋅ 1−-q-. 1 − q

Obliczmy sumę 100 początkowych wyrazów ciągu ( 1)n −1 an = − 3 .
Ciąg (a ) n jest ciągiem geometrycznym z a = 1 1 i q = − 1 3 , zatem

( ) 100 1− − 13 1− -1100 3 1 S100 = -----(---)---= ---43---= --− ----99. 1− − 13 3 4 4 ⋅3

Uzasadnijmy, że każdy wyraz ciągu n− 1 an = 2 jest o 1 większy od sumy wszystkich poprzednich wyrazów.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym z a1 = 1 i q = 2 . Zatem

1−--2n−1- n−1 Sn− 1 = 1− 2 = 2 − 1 = an − 1 .

Monotoniczność Dość oczywista własność, ale wyraźnie to napiszemy, bo czasem pojawia się w sformułowaniach zadań. Niech (an) będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie q ⁄= 0 . Wtedy