/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 4773781

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Szósty wyraz ciągu arytmetycznego (an) jest o 6 mniejszy od czwartego wyrazu. Wyznacz wzór ogólny na n –ty wyraz ciągu (an) , wiedząc, że ciąg ( ) a ,a ,− 1a 1 3 2 7 jest geometryczny.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na n –ty wyraz ciągu arytmetycznego mamy

a = a − 6 6 4 a 1 + 5r = a1 + 3r − 6 2r = −6 ⇒ r = − 3.

Mamy stąd

a = a + 2r = a − 6 3 1 1 a 7 = a1 + 6r = a1 − 18.

Wyraz a1 obliczymy wykorzystując podaną informację o ciągu geometrycznym.

( ) 2 1- a3 = a1 ⋅ − 2a7 / ⋅2 2 2(a1 − 6) = a1 (18− a1) 2a2 − 24a + 72 = 18a − a2 1 1 1 1 3a21 − 42a1 + 72 = 0 / : 3 2 a1 − 14a1 + 24 = 0.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

2 ˙ Δ = 14 − 424 = 196 − 96 = 10 0 14-−-10- 14+--10- a1 = 2 = 2 lub a1 = 2 = 12 .

Mamy wtedy odpowiednio

an = a1 + (n − 1)r = 2 − 3 (n − 1) = − 3n + 5 an = a + (n − 1)r = 1 2− 3(n− 1) = − 3n + 15 . 1

 
Odpowiedź: an = − 3n + 5 lub an = − 3n + 15

Wersja PDF