/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 5158126

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Trzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

( ) 1-, 2-,-----1------ a 3b 2a+ 2b+ c

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że ciąg (a ,b,c) jest arytmetyczny, więc 2b = a+ c . Ponadto ciąg

( ) ( ) 1- 2-------1------ 1--2- -------1--------- a ,3b,2a + 2b+ c = a,3b ,2a + 2b + 2b − a = ( ) = 1,-2-,--1---- . a 3b a+ 4b

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc

( 2 ) 2 1 1 --- = --⋅------- 3b a a + 4b 4a (a+ 4b ) = (3b)2 2 2 4a + 16ab = 9b 4a2 + 16ab − 9b2 = 0

Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć

2- q = 3b-= 2a-= 2⋅ a. 1a 3b 3 b

Musimy więc obliczyć t = a b . Wracamy do naszego równania.

4a2 + 16ab − 9b 2 / : b2 2 4t + 16t− 9 = 0 Δ = 256 + 144 = 400 t = −-16-−-20-< 0 lub t = −-16-+-20-= 4-= 1. 8 8 8 2

Ujemna wartość t jest sprzeczna z informacją, że liczby a i b są dodatnie, więc ab = 12 i

q = 2-⋅ a-= 2-⋅ 1-= 1-. 3 b 3 2 3

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez r różnicę ciągu arytmetycznego, to (a,b,c) = (b− r,b,b+ r) i wiemy, że ciąg

( 1 2 1 ) ( 1 2 1 ) --,--,------------ = -----,--, --------------------- = a 3b 2a + 2b + c ( b− r 3b 2(b− r))+ 2b + b + r 1 2 1 = -----,--, ------- b− r 3b 5b− r

jest geometryczny. W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, więc

( 2 )2 1 1 --- = -----⋅ ------- 3b b− r 5b− r 4(b − r)(5b− r) = (3b)2 20b2 − 24rb + 4r2 = 9b 2 2 2 11b − 24rb + 4r = 0.

Zanim przekształcimy to równanie dalej zauważmy, że mamy obliczyć

-2 ( ) q = 3b-= 2a-= 2-⋅ b−-r = 2- 1− r- . 1a 3b 3 b 3 b

Interesuje nas więc iloraz t = r b . Wracamy teraz do naszego równania.

11b2 − 24rb + 4r2 = 0 / : b2 2 11− 24t+ 4t Δ = 57 6− 176 = 400 t = 24-−-20-= 1- lub t = 24-+-20- = 11-. 8 2 8 2

Teraz musimy odrobinę uważać, bo wyrazy ciągu (a,b,c) = (b − r,b,b+ r) mają być dodatnie, więc musi być r < b , czyli t = rb < 1 . Zatem drugie rozwiązanie odrzucamy i mamy r= 1 b 2 . Stąd

2 ( r) 2 ( 1) 2 1 1 q = -- 1− -- = -- 1 − -- = --⋅--= -. 3 b 3 2 3 2 3

 
Odpowiedź: 13

Wersja PDF