/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 5185899

Liczby (4,x,y) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Jeśli liczbę x zwiększymy o 1, a liczbę y zwiększymy o 3, to otrzymane liczby będą kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Wyznacz x i y .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że liczby (4,x,y) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, więc x = 4 + r i y = 4 + 2r dla pewnego r . Wiemy ponadto, że ciąg (4,x + 1 ,y + 3 ) jest ciągiem geometrycznym, więc

2 (x + 1) = 4(y+ 3) (4 + r + 1)2 = 4(4 + 2r + 3) (5 + r)2 = 4(2r + 7) 2 r + 10r + 25 = 8r + 28 r2 + 2r − 3 = 0 2 Δ = 4 + 12 = 1 6 = 4 − 2− 4 −2 + 4 r = -------= − 3 ∨ r = -------= 1. 2 2

Otrzymujemy stąd dwa ciągi: (4,1 ,− 2 ) i (4 ,5,6) .

Sposób II

Wiemy, że ciąg (4 ,x,y) jest arytmetyczny, więc

2x = 4 + y ⇒ y = 2x − 4.

Wiemy ponadto, że ciąg (4,x + 1,y + 3) jest geometryczny, więc

(x + 1)2 = 4(y + 3) 2 (x + 1) = 4(2x − 4 + 3 ) x2 + 2x + 1 = 8x − 4 x2 − 6x + 5 = 0 2 Δ = 36− 20 = 4 6-−-4- 6+--4- x = 2 = 1 ∨ x = 2 = 5 .

Mamy wtedy odpowiednio y = 2x − 4 = − 2 i y = 2x − 4 = 6 .  
Odpowiedź: (x,y) = (1,− 2) lub (x ,y ) = (5,6)

Wersja PDF