/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 5763161

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Ciąg (a ,b,c) jest geometryczny, ciąg (a + 1,b + 5,c) jest malejącym ciągiem arytmetycznym oraz a+ b+ c = 39 . Oblicz a ,b,c .

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby a,b,c tworzą ciąg geometryczny to są postaci 2 a,aq,aq . Z podanej sumy mamy

2 a+ aq+ aq = 39 a(1+ q+ q2) = 39 a = ----39----. 1 + q + q2

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(a+ 1,b+ 5,c) = (a+ 1,aq + 5,aq2)

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2(aq + 5 ) = (a+ 1)+ aq2 2 9 = a+ aq − 2aq 9 = a(1− 2q+ q2).

Podstawiamy teraz ---39--- a = 1+q +q2 .

39 (1+ q + q 2) 9 = ----------(1 − 2q + q2) / ⋅ ------------ 1+ q+ q2 3 3 + 3q + 3q 2 = 13− 26q + 13q2 10q 2 − 2 9q+ 10 = 0 2 2 2 Δ = 29 − 4 ⋅10 = 44 1 = 21 29-−-21- 2- 29-+-21- 5- q = 20 = 5 ∨ q = 20 = 2.

Łatwo sprawdzić, że jeżeli q = 5 2 , to b+ 5 > a + 1 , co jest sprzeczne z informacją o tym, że ciąg arytmetyczny jest malejący. Zatem 2 q = 5 i

39 39 39 a = ----2---4--= 25+-10+4-= 39-= 2 5 1+ 5 + 25 --25---- 25 2 b = aq = 25 ⋅--= 10 5 c = bq = 10 ⋅ 2-= 4. 5

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli 2 b = ac . Wiemy ponadto, że

a+ b+ c = 39

oraz liczby (a + 1,b + 5,c) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2(b + 5) = (a + 1) + c 2b + 9 = a + c.

Podstawiając a+ c = 2b+ 9 w równości a + b + c = 39 mamy

2b+ 9+ b = 39 ⇒ 3b = 30 ⇒ b = 1 0.

Zatem

a+ c = 2b + 9 = 29 .

Podstawiamy teraz c = 29 − a do równości ac = b 2 = 100 .

a(29− a) = 100 0 = a2 − 29a + 100 Δ = 29 2 − 4 ⋅100 = 841 − 400 = 441 = 212 29 − 21 29+ 21 a = --------= 4 ∨ a = --------= 2 5. 2 2

W pierwszym przypadku b + 5 = 15 > a + 1 = 5 , co stanowi sprzeczność z informacją o tym, że ciąg arytmetyczny jest malejący. Zatem a = 25 i c = 2 9− a = 4 .  
Odpowiedź: (a,b,c) = (25,10,4)

Wersja PDF