/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 6152999

Ciąg (a,b,c) jest trzywyrazowym ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich. Ciąg

(2a ,2b ,c+ 1 )

jest trzywyrazowym ciągiem arytmetycznym. Ponadto, spełniony jest warunek c− b = 6 . Oblicz a ,b oraz c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Skoro liczby a,b,c tworzą ciąg geometryczny, to są postaci: 2 a,aq,aq . Wiemy ponadto, że

6 = c− b = aq2 − aq = aq(q − 1) 6 a = --------. q(q − 1)

Z informacji o ciągu arytmetycznym wiemy, że liczby

(2a ,2b,c+ 1) = (2a,2aq,aq 2 + 1 )

są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Mamy zatem

2 2 ⋅2aq = 2a+ aq + 1 1 = 4aq− 2a− aq2 1 = a(4q− 2− q2).

Podstawiamy teraz a = -26- q −q .

---6-- 2 2 1 = q2 − q(4q − 2− q ) / ⋅(q − q) q2 − q = 24q − 12 − 6q2 2 7q − 25q + 12 = 0 Δ = 252 − 4⋅7 ⋅12 = 625− 336 = 28 9 = 172 q = 25-−-17-= 4- ∨ q = 25-+-17-= 3. 14 7 14

Dla 4 q = 7 mamy

a = ---6(---)-= − 49, 4⋅ − 3 2 7 7

więc otrzymany ciąg nie spełnia warunków zadania (bo wyrazy miały być dodatnie). Zatem q = 3 i wtedy

6 a = ---- = 1 3 ⋅2 b = aq = 3 c = bq = 9.

Sposób II

Liczby a,b,c są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, czyli 2 b = ac . Wiemy ponadto, że

b = c− 6

oraz liczby (2a,2b ,c+ 1 ) są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego, czyli

2a + (c + 1) = 2 ⋅2b = 4 (c− 6) = 4c− 24 2a = 3c− 2 5 / : 2 3c−--25- a = 2 .

Podstawiamy teraz tę wartość oraz b = c − 6 do równości ac = b2 .

3c − 25 --------⋅c = (c − 6)2 /⋅ 2 22 2 3c − 25c = 2c − 24c + 72 2 c − c− 72 = 0 Δ = 1+ 288 = 28 9 = 172 c = 1-−-17-= − 8 ∨ c = 1+--17-= 9. 2 2

Pierwsza możliwość jest sprzeczna z treścią zadania (wyrazy ciągu mają być dodatnie), więc c = 9 . Mamy wtedy b = c− 6 = 3 i

a = 3c-−-25-= 1. 2

 
Odpowiedź: (a,b,c) = (1,3 ,9)

Wersja PDF