/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 7059198

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dane są dwa różne ciągi: arytmetyczny i geometryczny. Każdy z nich składa się z trzech wyrazów dodatnich. Pierwsze i ostatnie wyrazy tych ciagów są równe. Suma wyrazów którego ciągu jest większa?

Rozwiązanie

Żeby się nie pogubić w danych, powiedzmy, że (a,b,c) jest ciągiem arytmetycznym, a (a,d,c) ciągiem geometrycznym. Zauważmy, że z założenia są to dwa różne ciągi, więc w szczególności a ⁄= c .

Pytanie, na które musimy odpowiedzieć, to która z liczb a + b+ c czy a + d + c jest większa? Oczywiście to to samo, co zapytać czy b > d , czy też na odwrót. Wiemy, że

a+ c b = ----- √ 2-- d = ac.

Pokażemy, że pierwsza z tych liczb jest na ogół większa (czyli, że średnia arytmetyczna jest większa od średniej geometrycznej).

a-+-c > √ac-- 2 a + c > 2√ac-- / ⋅()2 a2 + 2ac + c2 > 4ac 2 2 a − 2ac + c > 0 (a − c)2 > 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście prawdziwa. Po drodze podnosiliśmy nierówność do kwadratu, ale mogliśmy tak zrobić, bo obie strony były dodatnie.

Zatem

a + b + c > a + d + c.

 
Odpowiedź: Suma ciągu arytmetycznego jest większa.

Wersja PDF