/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 7136843

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Wyznacz wzór na n -ty wyraz ciągu arytmetycznego wiedząc, że suma pierwszych pięciu jego wyrazów jest równa 40, a wyrazy drugi, piąty i dwudziesty trzeci tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Rozwiązanie

Z podanej sumy pierwszych 5 wyrazów mamy równanie

2a + 4r ---1-----⋅5 = 40 / : 5 2 a1 + 2r = 8.

Druga informacja daje nam natomiast

2 a5 = a2a23 2 (a1 + 4r) = (a1 + r)(a1 + 2 2r) a21 + 8a1r+ 16r2 = a21 + 23a1r + 22r2 2 0 = 15a 1r + 6r / : 15 ( 2 ) 0 = r a1 + --r . 5

Jeżeli r = 0 to dany ciąg jest stały i mamy a1 = 8 . Zatem an = 8 .

Jeżeli natomiast r ⁄= 0 to mamy a1 = − 25r , co podstawiamy do uzyskanej na samym początku równości a1 + 2r = 8 .

− 2r + 2r = 8 ⇒ 8r = 8 ⇒ r = 5. 5 5

Zatem a1 = − 25r = −2 i mamy

an = a 1 + (n − 1 )r = − 2+ 5 (n− 1) = − 7 + 5n.

 
Odpowiedź: an = 8 lub an = 5n − 7

Wersja PDF