/Szkoła średnia/Ciągi/Arytmetyczny i geometryczny

Zadanie nr 7211026

Ciągi (a,b,c) i (a − 2,b − 2,c − 1) są ciągami geometrycznymi o wyrazach dodatnich, a ciąg (3a + 2,3b,c + 13) jest ciągiem arytmetycznym. Wyznacz a,b,c .

Wersja PDF

Rozwiązanie

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu jest iloczynem wyrazów sąsiednich, a w ciągu arytmetycznym wyraz środkowy jest średnią arytmetyczną wyrazów sąsiednich. Mamy więc układ równań.

( |{ b 2 = ac 2 |( (b − 2) = (a− 2 )(c− 1) 6b = 3a + 2+ c+ 13 ( 2 |{ b = ac b 2 − 4b + 4 = ac− 2c− a + 2 |( 6b = 3a + c+ 15

Przekształćmy drugie równanie podstawiając b2 = ac z pierwszej równości.

2 b − 4b + 2 = ac− 2c− a ac − 4b + 2 = ac− 2c− a − 4b + 2 = −2c − a a = 4b− 2c− 2.

Podstawiamy teraz otrzymane wyrażenie na a do pierwszego i trzeciego równania układu - otrzymamy w ten sposób układ, w którym będą już tylko dwie niewiadome.

{ 2 b = (4b − 2c− 2)c 6b = 3(4b − 2c − 2) + c+ 15 { b2 = 2(2b − c− 1)c 5c = 6b + 9.

Podstawiamy teraz 6 9 c = 5b + 5 z drugiego równania do pierwszego.

( 6 9 ) ( 6 9 ) b2 = 2 2b − --b− --− 1 ⋅ -b + -- / ⋅25 5 5 5 5 25b2 = 2(10b − 6b− 9− 5)(6b+ 9) 25b2 = 2(4b − 1 4)(6b+ 9) 2 2 25b = 2(24b − 8 4b+ 36b − 126) 25b2 = 48b 2 − 9 6b− 252 2 0 = 23b − 96b − 25 2 Δ = 9 62 + 4⋅23 ⋅252 = 32400 = 1802 b = 96-−-18-0 = − 42- ∨ b = 9-6+-1-80 = 6. 46 23 46

Ponieważ ciąg ma (a,b,c) ma mieć wyrazy dodatnie, mamy b = 6 . Stąd

6- 9- 36-+-9- c = 5b + 5 = 5 = 9 a = 4b − 2c− 2 = 24 − 18 − 2 = 4.

Zatem (a,b,c) = (4,6,9) .  
Odpowiedź: (a,b,c) = (4,6 ,9)

Wersja PDF